こんにちは。
私の勤め先でも、定年退職後、同日付で再雇用という処理をしています。
ご質問の方の場合、ご本人の主張どおり、8月1日付けで資格喪失・同日付で資格取得という扱いになります。
しかし、これは「定年退職後再雇用」という場合の特例らしく、単なる雇用区分の変更はこの手続きの対象にならないそうです。
資格喪失届・資格取得届・今まで使用していた被保険者証の他、就業規則の「定年」について書かれた部分と「定年後再雇用」について書かれた部分を添付して届け出るように言われました。
遡って訂正できるかどうかは疑問ですが、一応問い合わせをされてみてはいかがでしょうか?