正社員を契約社員へ

そもそも、正社員から契約社員への変更ということ自体が、
法的に認められない可能性が高いかと思います。

懲戒処分として無期雇用契約から有期雇用契約への変更を行ったことに対する有効性が争われた倉田学園事件では、
「雇用の同一性を損なわない範囲内で懲戒権を行使することは可能であるが、それをこえて当該労働契約を社会通念上全く別個のものに変更することは新たな契約の締結とみるほかなく、当該労働契約の内容となりえないものであるから労働契約を規律するものとはなりえないというべきである」という判断がなされ、
有期雇用契約への変更は許されないという判決が出ています。

例外的に、整理解雇基準（労働条件変更が企業の運営上必要不可欠である等）を満たしている事案で、
契約社員への変更に応じない者を解雇することにより、事実上強制的に契約社員への変更することが認められた判例（スカンジナビア航空事件）はありますが、
ご質問のケースでは、これにも該当しないでしょう。

ですので、原則的には、当該本人の同意がなければ契約社員への降格・格下げはできないと考えるべきです。
本人が契約書を提出しないということは、
本人が契約社員への変更に合意していないものと解釈すべきでしょうから、
契約社員への変更自体が成立していないわけで、
契約書の提出をしないことを理由とした解雇はできないものと考えます。

【参考】
http://www.jil.go.jp/kikaku-qa/part/J05.html