解雇制限がある休業期間中でも、労働者から退職の申し込みはできます。
労災給付の申請は、被災労働者がするのが基本です。休業補償給付の請求1回目である平均賃金の証明をしてある、その後の退職前の勤怠・賃金支払い状況の証明部分はない、なら会社の証明は不用です。あとはあなたが、労基署に出向いて手続きしていくことになります。
失業給付は、労災の休業(補償)給付が終わって、就業する能力があり、就業する意思をもてる状態になってからです。それまでは、受給資格を延長(用語的には延長ですが、実感としては延期です)する手続きをハローワークにしてください。