夫の扶養に入った後の社会保険について

所得税法上の被扶養者であることと、健康保険上の被扶養者であることはまったく別物とお考えください。
そもそも要件が異なりますから、どちらか片方だけ被扶養者に該当するというケースは存在します。

まず、所得税法上でいう収入は1/1～12/31までの1年間の収入ですから、
今年の年収が103万未満なのであれば、被扶養者のままでかまいません。
これに対し、健康保険上でいう収入は、
将来に向かって1年間の収入見込み額のことですので、
再就職先での月収が108,334円以上の場合は、その時点で被扶養者から外れる必要があります。
そして、再就職先での1日の勤務時間や月の勤務日数が、一般従業員のおおむね3/4以上であれば、
再就職先の健康保険に強制加入となりますので、
こちらの場合も被扶養者から外れることになります。
つまりご主人の健康保険と再就職先の健康保険に重複して加入という状況はありえません。
もし月収108,334円以上でご主人の健康保険の被扶養者認定要件から外れるものの、
再就職先の健康保険の強制加入の要件を満たさない、という場合は、
国民健康保険に加入することになります。
これは猫のしーちゃんさんの収入や勤務状況によって変わってくるものですから、
選択の余地はありません。
ご主人の健康保険の被扶養者から外れたくないのであれば、
月収108,334円未満に抑え、かつ再就職先の健康保険の強制加入要件を満たさないように調整するしかありません。

なお、協会けんぽやそれに準じた対応をしている健康保険組合での被扶養者認定は上記のとおりですが、
健康保険組合によっては、独自の被扶養者認定要件が設定されている場合がありますから、
もしご主人の加入されているのが健康保険組合なのであれば、
念のため、健康保険組合に確認されることをオススメします。

ちなみに、ご主人の会社の扶養手当の要件はどうなっていますでしょうか？
もしご主人の会社の扶養手当の要件が、所得税法上の被扶養者であること、健康保険に被扶養者であること、
もしくはその両方であること、というような要件がある場合、
場合によっては扶養手当の返還を求められるケースもありえると思いますので、
確認しておいたほうがよろしいかと思います。

丁寧なご回答、ありがとうございます！

私の再就職先での社会保険加入は必須であるということですね。
そして、重複はもちろんできず、私は私自身の社会保険、夫の扶養（社会保険）からは抜け、
税金面では、扶養のままでよいという認識でよろしいでしょうか。
夫の会社の扶養手当に関しては、確認してみますね。
ありがとうございました！

> 私の再就職先での社会保険加入は必須であるということですね。
> そして、重複はもちろんできず、私は私自身の社会保険、夫の扶養（社会保険）からは抜け、
> 税金面では、扶養のままでよいという認識でよろしいでしょうか。

あくまでも“再就職先での雇用形態や収入しだい”ですよ。
再就職先での雇用形態や収入が書かれていませんから、
ご質問の内容からだけでは判断いたしかねます。
ですから、ケースごとに分けてご説明したのです。

再度まとめると、
所得税法上では、
●年内の収入103万以下の場合
　→配偶者控除の対象者のまま
●年内の収入103万超えの場合
　→配偶者控除の対象者からはずれる
　　（ただし、103万超～141万未満の場合は配偶者特別控除のほうが受けられます）

健康保険上では、
●再就職先での勤務形態が強制加入要件を満たす場合
　→ご主人の健康保険の被扶養者から外れて、再就職先の健康保険に加入
●月収108,334円未満で、再就職先の強制加入要件を満たさない場合
　→ご主人の健康保険の被扶養者のまま
●月収108,334円以上で、再就職先の強制加入要件を満たさない場合
　→ご主人の健康保険の被扶養者から外れて、国民健康保険に加入
ということです。

また、繰り返しになりますが、上記はご主人の健康保険が協会けんぽの場合や、それに準じる扱いをしている健康保険組合だった場合です。
ご主人の健康保険が組合管掌健康保険の場合は、
独自の被扶養者認定基準が設られている可能性もあり、
ご質問の内容からだけでは、絶対に上記のような判断でOKとは断定しかねます。
ですから、ご主人の加入されている健康保険が健康保険組合のものであれば、
そちらに被扶養者認定要件について問い合わせたうえで判断してください。