請負契約を結ばない人材派遣

はじめまして。

まず整理しておきたいのですが、“請負”と“派遣”は似て非なるものであり、契約自由の原則に基づいて自由に当事者間で合意内容を決定できる前者と、労働者派遣法に基づいて約定事項を明確に定めなければならない後者は全く意味が異なります。（ちなみに派遣契約の場合、いわゆる「口頭合意」はできませんのですべからく書面による締結が必要です）

結論から言えば、本件は貴社従業員が「指示を（貴社以外の）派遣先から受ける」時点でご質問者様の認識どおり派遣法違反である可能性が非常に高いと考えます。
この場で派遣法について書き始めると膨大な量になってしまいますので、まずはご質問者様自身で、厚生労働省及び都道府県労働局のWebサイト等で派遣法の概要を捉えた上で、速やかに社会保険労務士等の専門家にご相談することを強くお勧め致します。前後関係から察するに、労働者派遣事業許可についても取得されていらっしゃらないようにお見受けしますから、早急に対応して下さい。（派遣事業許可の要否については会社規模の大小は関係ありません）

以上、ご参考まで。