契約社員の退職について

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> 一つ気になるのが雇用契約期間前の退職（期間の定めあり）になるので、損害賠償を求められたりしないかです。記載の通り、私の退職で損害は全くでないと思われますが（採用をする経費はかかってくると思いますが、それはいつ退職しても同じ事だと思います）実際どうなのでしょうか？
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仰る通り、期間の定めのある労働契約は、原則として契約期間内は（労使共に）解約することができません。
従って、契約期間満了前に、社会的通念上やむを得ない事情もないのに
（健康面で業務遂行が不可能になったことや、
家族の事情で転居し、通勤が困難になったことなどが挙げられます）
退職すれば、労働契約の債務不履行で、損害賠償を求められる可能性は当然あります。
損害があるかどうか判断するのは会社ですし、訴える場は民事訴訟となりますので、
訴える意思があるかどうか、全ては会社次第となります。


> 契約書には退職する30日前に届け出ると書いてありますが、在籍してても意味がないので出来るだけ最短で辞めたい、そのため退職日までお休みをいただく予定です。
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労働契約においては労働者が労働を行う義務があり、
使用者はその労働対価において賃金を支払う義務があるのが基本です。
従って、入社から数ヶ月とのことですから、恐らく有休は発生していないと思いますから、
退職するその日まで、所定労働日においては労働する義務があります。

もちろん、会社がその欠勤を認める可能性もありますが、
欠勤中の賃金は原則無給となります（労働が無ければ賃金の支払い義務は当然ありません）。

病気などの社会通念上やむを得ない事情が無い限り、
３０日もの長期欠勤が認められることは考えにくく、
会社側が欠勤を認めなければ、出勤しなければいけません。
もしここで欠勤を強行すれば、会社側は無断欠勤として、
欠勤期間中の賃金を支払わないことはもちろん、何らかの損害賠償を要求することもできます。
先ほどと同じように、欠勤中無給なのは当然ですが、
損害賠償については民事訴訟になるので、
会社次第となりますが、可能性はあります。


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> また、次の職場が前職についてなど調べるかも教えていただければと思います。
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これも、次の職場次第です。
応募者が履歴書に虚偽の記載をしていないかどうかなどを調べるため、
前の会社について確かに在籍していたか、退職日は間違いないか（二重就労を避けるため）
など、確認することは法律違反ではありません。
個人情報保護とは、第三者に勝手に情報を漏らすことを禁じたもので、
本人が自ら履歴書などに個人情報を書いて、当事者（応募先）に提供することは
もちろん違反ではありませんし、
提供された側（応募先）が、当事者（前職）に係わる情報の部分について、
正誤を確認することは違法ではありません。
（前の会社に直接関係ない部分の、応募者の個人情報などを前の会社に漏らせば、
それは個人情報保護法違反となりますが）