定年後に再雇用された時の雇用保険は新規？

そのまま被保険者資格を有することになります。ですから、勤務時間が定年前と変わらない場合は特に手続は必要ありません。ただし、勤務時間が短くなる場合は、注意が必要です。ご質問後段のパートとして働く場合がこれです。
・1週間の所定労働時間が20時間以上30時間未満となった場合は、短時間労働被保険者となりますので、区分変更の手続きが必要となります。
・1週間の所定労働時間が20時間未満となる場合は、被保険者となりませんので資格喪失手続きが必要となります。

　また、「高年齢雇用継続給付」という高齢者の方の雇用継続を援助・促進する目的のため支給される給付金があります。60歳以上65歳未満の雇用保険被保険者(短時間労働被保険者を含む）であること、被保険者期間が5年以上あること、60歳時点の賃金と比べて75%未満に低下していること等に該当すると受給できるもので、申請するには
「60歳到達時賃金証明書」と
「高年齢雇用継続給付受給資格確認票」の手続が必要となります。
この手続きは、高年齢雇用継続給付の初回の支給申請と同時に行うことができますが、
・ 受給資格発生日を確認できる
・ 支給申請の基準となる60歳到達時の賃金額を的確に把握しておくことができる
・ 賃金台帳や出勤簿等の確認資料の添付が困難な場合、賃金月額を登録できない
といった理由から、60歳到達時に行うのが望ましいでしょう。

丁寧な回答ありがとうございます。

定年で雇用保険の加入期間がゼロに戻る、ということは
ないんですね。
ありがとうございした。

ご質問のケースでは再雇用といっても事実上の雇用継続であり、そのまま被保険者資格を有しますのでそうなんですが、長年働いていたきた方たちですから、「少しゆっくりしたい」という理由などで再雇用するまでにインターバルがある場合は、被保険者資格喪失届を出すことになります。この場合の、雇用保険の失業給付の受給資格者としての扱いは通常の退職と変わりません。
ただ、「また働くにしても、少しゆっくりしたい」という方のために１年間の給付期間延長が認められてはいます。

　その後、６０歳以上６５歳未満で再就職して再び雇用保険の被保険者となったとしても再就職日前日までに、基本手当の支給残日数が１００日以上あること 等を条件に高年齢再就給付金が受給できることもありますが、再就職後の被保険者期間が５年以上にならないと受給資格を満たせません。
　つまり、必ずしも定年前の被保険者期間が通算されるケースばかりではないのでご注意を。