ブラック社員の扱い

たいへんお困りのように見受けますが、一点、ご確認ください。

> 社会通念上はとても許されない事であっても、就業規則で規定されていないギリギリのところ

このように書かれておいでですが、御社の就業規則には、

（順守事項）
第－条
従業員は、次に掲げる事項を守らなければならない。
第－項　勤務時間中は、みだりに職場を離れないこと。

あるいは、

第－項　勤務時間中は、業務に専念しみだりに職場を離れないこと。

このような、ごく基本的な「専念義務」についての規定はないのでしょうか。

または、

第－項　会社の名誉または信用を傷つける行為をしないこと。

といった規定によっても、客先から繰り返されるクレームに関して懲戒を行うことが可能でしょう。
（もちろん、懲戒に関する基本的な規定が揃っていることが前提です）

肝要なのは、クビにできるか、退職勧奨に従うか、を考えるのではなく
都度都度、きちんと、口頭、書面での訓戒・懲戒の処分を積み重ね、御社の規定に照らして正当な手続を経ることです。

その人は職務に専念できなくて、例えば同時期に入社した社員のほとんどが決められた時間内にできることを、その人はできないとかであれば、面談して、体調が悪いのか、仕事の負荷が高すぎるのか、何か困っていることがあるのか聞いて、改善にもっていくことができませんか。あるいは、全社的に評価基準を決めて、それに至らないなら、下位の社員と同じ仕事内容にしてしまうとか。給与もそれに合わせることはできるかと。
労働法は、悩めるさんがおっしゃるほど甘くはないと思うのですが、もしそう思うのだとしたら、就業規則がモデル就業規則よりもゆるすぎるとか？(あまりにもオリジナリティがありすぎて細かすぎる就業規則は、それもどうかと思いますが)

私もシステム開発会社の総務部長も経験しましたので、似たような話は幾度か現場サイドから上がって来ていました。
当然、他の回答にもあるとおり、指導等を繰り返して実績を重ねれば退職に向けた対応ができない話ではないと考えるのですが、どうも管理そのものが甘過ぎるように感じるのは、私だけでしょうか。

まずは、会社として、やるべきことをやっておかなければならないと思います。
確かに不届きな社員ではありますが、無駄なサービス残業は発生していないかなどを含め会社側に何ら責はないか検討する前に、「ブラック社員」と表現することに疑問を感じます。

SNSが本人のものだと言う以上、それなりの根拠もあるはず。それを示して話合いは為されたのでしょうか。彼のサボリは通常考えられる範囲のことではありませんか、それをリーダーなどが見抜くことは容易だったのでは。その場で対応すれば改めさせることは出来ると思いませんか。
少なくとも、「これ貴方が書いたの？」などの注意喚起は十分可能なのでは。それは行わず、「彼のために・・・云々」なら、それは管理業務の放棄とも言えませんか。

投稿された文面からだけですので、私の意見も実態を捉え切れていないと思いますし、このような社員が現実に居ることも良く分かっていますが。。。

言い過ぎの部分はご容赦願いたく。