社会保険について

こんにちは。
まず、雇用保険について。
手術のために退職という場合は、失業給付は受給できません。
失業給付は「心身・環境ともに働ける状態にもかかわらず、職がない人」に支払われるものですので、傷病で働けない方は対象にならないのです。
よって、失業給付をすぐに受けられる方法は残念ながらありません。

次に、社会保険（健康保険・年金保険）についてです。
健康保険料の負担を減らすために考えられる方法としては、働いているご家族の扶養に入ることぐらいでしょうか？
ご家族がみんな国民健康保険ということですと、これも無理ですが・・・。

年金保険料については、配偶者の方が厚生年金などの国民年金第２号被保険者として加入していない限り、第三号被保険者にはなれませんので、保険料を納付する必要があります。
ただ、今後４ヶ月間は無収入になるということですので、減免措置を受けられる可能性があると思います。

一番無難なのは傷病手当金を受給することですが、退職後に受給できるのは、
・在職中に傷病手当金の受給要件を満たしていること（受給できるのに請求していない状態であること。）。
・１年以上継続して被保険者であったこと。
の２つを満たしている場合のみなので、例えば今年の春入社された方だと、要件を満たさないため、退職後は受給できなくなってしまいます。
この件については、こちらのサイトでわかりやすく説明されています。
http://www.kenpokumiai.or.jp/3/kyuuhu352taishokugo.htm
なお、傷病手当金を受給する場合、給付日額が３６１１円以上の場合は扶養に入れませんので、健康保険・年金保険は自分で加入しなくてはなりません。

ご本人のことだけを考えるなら、お勤め先を退職するのではなく、在籍のまま、無給で休職にして、４ヶ月間傷病手当金を受給。
健康保険料・年金保険料は復職後一括で支払うか、毎月一定日までに何らかの方法で事業所に支払ってもらう形にするのが、一番負担が少ないと思います。

何か１点でも、ご参考になれば幸いです。

丁寧な回答、ありがとうございます。
とても参考になりました。

このまま上司に伝え、今後どうするのか決めたいと思います。