労災の際の補償について

　兼業を法律は禁止していません。（公務員を除く）
　しかし、休業補償は労務不能が前提です。他事業所で労務に就いているならば、医師の「労務不能」の証明はとれないでしょう。もし取ったとしたならば、医師の不正荷担を疑われます。
　療養のため休業している場合に、労災休業補償が行われるのであって、痛いのが気の毒だから休業補償するのではありません。
　また医療費は指定医師から労基署へ請求するので、その医療費との兼ね合いも生じます。医療費は休業しなくても医療行為に対して支払うものです。
　質問文から推察すると、労務不能ではないので、休業初日を含め会社は休業補償する必要はないと考えます。
　有給休暇は、利用理由を限定できないので、本人がそれを請求したら使用できます。
　労災保険は、会社としては無過失保障なのです。ただし、その原因に会社の不法行為があった場合は、慰謝料を請求されることがあります。会社に責任があるからです。例えば、設備に前から分かっていた不備があって、それが原因で負傷したようなケースです。
　従って会社に不法行為がなければ、苦痛までも会社は保障する義務はありません。

あなたのところと、別事業場での就労の質軽重がわかりませんが、

療養のために休業を要するのか主治医の診断書を入手してないのでしょうか？　それを元に被災最初の３日の休業補償は、労災保険からでなく、御社でせねばなりません（平均賃金の６割）。その３日のうち就業日に対し、年次有給休暇も事前行使があったならそれを認めて、休業補償にかえて通常の賃金（就業規則にかかれた休暇日の賃金）支払うことになるのでしょう。

他場所にて就業している実態があるといえど、労災保険給付をうける権利は、被災労働者にありますので、申請書が回ってくれば、事業主記入欄、証明欄を埋める義務が使用者にあります（休業補償申請書入手から提出までは労働者の権利であり義務。動ける労働者にそこまで面倒見る義務は使用者にない）。他場所就労の件が事実なら、別ルートで労基署長に意見できますので、出してみてはいかがでしょう（労災保険法施行規則２３条の２）。