労働者派遣法

派遣期間の制限を越えて同一業務に派遣受入期間の制限への抵触日以降も、派遣労働者を使用しようとする場合（労働者派遣法第40条の4）か、
同一の業務に同一の派遣労働者を３年を超えて受け入れていて、その同一の業務に新たに労働者を雇い入れようとする場合(労働者派遣法第40条の5)
だったわけですね。
そしてすでに人事権は現使用者に移っているが、ミスは派遣時代に起こしたもの、という理解でよろしいでしょうか。

どの程度のミスであったのか、またミスを犯したにもかかわらず、その人を雇い入れたのは単に派遣法を守ったからなのか（契約打ち切りという選択肢も派遣先にはあったはず）経緯がはっきりしないので一般的な答えになってしまいますが、
人事権というのは会社が持っているわけで、降格させてはいけないということはないわけです。ただ、
　降格によって労働者の受ける不利益の程度や
　使用者側における業務上の必要性の有無や、
　労働者側の能力・適性の欠如等、帰責性の重責度、
　その企業における昇進・降格の運用状況等の事情
などによって総合的に判断され、社会通念上著しく妥当性を欠き、権利の濫用に当たるときは無効となります。
また、現実的に起こりうる降格による減給も、係長の地位に不適切な社員を降格することによって当然に生じるものですから、労働基準法第９１条・減給の制裁の規定に抵触するものではありません。

同一の業務に同一の派遣労働者を３年を超えて受け入れていて、その同一の業務に新たに労働者を雇い入れようとする場合(労働者派遣法第40条の5) です。

人事権ではなく、懲戒処分として、ミスは派遣時代に起こしたにもかかわらず、降格処分ができるか、という質問です。

ミスの発覚の時期にもよると思います。
採用前→係長として採用したことは、そのミスをチャラにしてもなお、その人の採用を優先した、ミスはその程度のものだった、という推認ができます→いまさらの降格は無効
採用後→降格は有効。懲戒処分による降格も人事権のうちです。
ただし、ミスの程度と、一般職への降格によってその人が蒙る減給や精神的苦痛等の不利益の度合いを比較考慮して、あまりにも後者の程度が著しいとなれば、会社の降格人事は権利の濫用として無効になる可能性はあります。
以上のように私的には考えます。

懲戒処分は就業規則にもとずいて行われると思うのですが、
ミスは派遣時代に起こしたわけですから、派遣先の就業規則は適用されないはずです。
正規社員になってから、就業規則が適用となると、、
正規社員になる前のミスでは、降格処分ができないのでは？

それぞれ（前派遣元、今の会社）の就業規則に詳細なミスの特定とそれに応じた処分が規定されているのでしょうか？

それはさておき、ミスの発覚を知っていれば、採用はしなかったと会社が主張するような場合だったとしたら、今の会社の就業規則が適用されるのでは。
それにそもそも就業規則の懲罰規定は会社の服務規律に反した場合とか、法律違反を犯した場合とか会社の業務命令に従わなかった場合、著しく職務遂行能力に欠ける場合等々、大雑把にしか規定されていないのが一般的であり、直接雇用する前の派遣元でこれこれのミスをした者は…というような具体的な記載は無いと思います。

ミスの内容はわかりかねますが、今の会社の就業規則でも、社会通念上懲戒処分もやむを得ない、合理性がある、に該当するようなものだった場合、（たとえば本採用に当たって特筆すべきことを隠していたような場合とか、履歴書にうそを書いていたような場合等々、他にもケースバイケース多々）降格処分は今の会社の就業規則にのっとって行えるのではないでしょうか。

派遣労働については、派遣先も責任を負う部分があるのす。就業規則の適用の問題ではないですが。
たとえば、時間外労働についてみると、労基法上の労働時間・休憩・休日等の規定の適用については、実際に派遣労働者を指揮命令する派遣先が責任を負うことになります。また、派遣元・派遣先の連絡体制も、講ずるべき措置として指針があります。
派遣法により直接雇用され、指示された業務に付随・関連する業務を事実上引き続き行われている事情から考えましても、業務の円滑な遂行のため、職場での人間関係の維持を含めて必要な関連性もありますので、前派遣元の就業規則の適用を受けていた頃のミスだから、今の会社の就業規則の適用を受けた時点で全くの白紙になる、とは思えませんが。

派遣先から正規職員への申し入れがあった段階において、ミスには気づいていたが、そのミスは自分に責任があるとは考えなかったことと、正規職員への道が閉ざされるのではないかと考えて、言い出せなかった場合、
「本採用に当たって特筆すべきことを隠していたような場合」に該当し、合理性がある、のでしょうか？

ミスの主語が誰であれ、少なくとも係長待遇で直接雇用される者であるならば、気づいた時点でミスの発生を申告するべきではなかったのでしょうか（たとえば上司となる人にでも）。
人のミスをかぶるのはごめんだ、あるいはチクったと言われるのは心外だ、このことで本採用に支障をきたすのはいやだ、など、あなたにもいろいろ事情はあったかもしれませんが、前述のように、係長待遇で採用されるならば、係長というのはそういうことも引き受ける立場の者なのでは。
ですから
>そのミスは自分に責任があるとは考えなかったことと、
>正規職員への道が閉ざされるのではないかと考えて、
という対応から、あなたが係長としての力量に欠けると判断されたとしてもやむを得ない、といえるのではないでしょうか。つまり
「本採用に当たっては言っておくべきこと」だった。言わなかったことと、その理由において降格処分には合理性がある、と思われます。